2차원에서 일어나는 질점의 평면운동 분석

동역학 (1) - 2차원에서 일어나는 질점의 평면운동 분석

 

 

 

 

 

1. 질점의 정의와 위치, 속도, 가속도

 

동역학에서 주요하게 다뤄지는 개념 중 하나는 바로 질점(Particle)으로 질량을 가지고 있는 점을 뜻합니다. 질점을 사용하는 이유는 물체의 움직임을 근사화하는 과정을 단순화시켜줄 수 있기 때문에 주로 활용합니다. 이를 통해 물체의 크기를 제외하고 질량만을 고려할 수 있다는 장점을 확보할 수 있습니다.

 

동역학적인 움직임을 더욱 간단히 표현하기 위해 벡터 개념을 활용할 수 있습니다. 우리가 익숙한 3차원 좌표계를 기준으로 할 때 특정 물체의 위치를 이를 가로/세로/높이에 해당하는 xi + yj + zk로 단순화 할 수 있다는 것이죠. 이렇게 벡터를 각 방향에 따른 성분으로 나눠줌으로써 운동을 직관적으로 이해할 수 있게 됩니다. 그리고 이는 위치와 연관된 속도와 가속도의 개념에서도 동일하게 작용합니다. 예를 들어 xi + yj + zk 라는 위치벡터를 시간에 대해 미분하면 아래 사진과 같은 결과를 얻습니다.

 

 

 

즉 xi + yj + zk 라는 위치벡터를 미분하면 (Vx)i + (Vy)j + (Vz)k 라는 속도벡터를 얻을 수 있다는 것이죠. 그리고 속도에 대한 미분을 다시 한 번 수행한다면 마찬가지로 가속도에 대한 벡터를 얻을 수 있습니다. 해당 결과는 (ax)i + (ay)j + (az)k로 표현될 수 있습니다. 이는 위치를 시간에 대해 미분하면 속도가, 그리고 다시 미분하면 가속도가 나온다는 이전 개념과 큰 차이가 없습니다. 그렇기 때문에 개념 설명은 여기서 간단히 마치고 이와 관련된 예제를 몇 가지 다뤄보겠습니다.

 

 

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2. 질점의 공간운동에 대한 분석

 

Q1) 좌표 평면에서 질점이 움직이는 경로가 아래와 같이 정의될 경우 t=4에서의 속도와 가속도 값을 구하여라 (단위 : m)

 

 

이 문제의 경우 x의 위치좌표가 t에 대해 나타나있기 때문에 단순 미분으로 질점의 운동관계를 유추할 수 있습니다. 위치벡터를 시간 t에 대해 미분하면 속도벡터는 2t + 8 라는 결과를 얻을 수 있습니다. 그리고 이를 다시 미분해 가속도는 2㎨로 일정하다는 결과 역시 알 수 있죠. 따라서 t=4에서의 물체는 속도벡터와 가속도벡터의 t에 4를 대입한 결과인 16m/s와  2㎨라는 속도/가속도 값을 갖게 됩니다.

 

 

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3. 언덕 위에서 움직이는 차량의 운동 분석

 

Q2) 아래 그림과 같이 언덕 위에서 차량이 움직이고 있다. 차량의 x좌표와 y좌표는 그림의 관계식을 따르며 x축 방향으로의 속도는 v0으로 일정한다고 가정한다. 해당 상황에서 x에 대한 함수로 자동차의 속력값과 가속도의 크기를 구하라(단 a,b,h는 상수이다).

 

 

문제를 해결함에 있어 중요하게 접근해야 할 2가지 포인트가 있습니다. 첫째, 자동차의 속력을 요구하기 때문에 우리는 속도벡터를 구하는 것이 아닌 스칼라에 해당하는 속력값을 구해주어야 합니다. 둘째, 속력값이 x0으로 일정하기 때문에 x방향의 가속도 ax는 0이 된다는 것을 짐작할 수 있습니다. 우리가 일반적으로 물체의 속도벡터를 x와 y를 시간 t에 대해 미분한다는 것을 고려하면 y의 위치만 시간에 대해 미분해주면 속도 벡터를 완성시킬 수 있습니다. 미분 결과는 아래와 같아요.

 

 

그리고 속력과 속도벡터 사이의 상관관계를 활용한다면 자동차의 속력을 아래와 같이 구해줄 수 있습니다.

 

 

이제 자동차의 가속도 크기를 구해야 하는데요. x축 방향의 속도벡터가 v0이라는 상수로 정의된만큼 이를 미분한 값은 0이 됩니다. 따라서 우리가 고려할 값은 y축의 속도벡터를 시간에 대해 미분한 y축방향 가속도벡터를 구해주면 됩니다. 위에서 나온 미분 결과에 해당 과정을 적용해주면 y축방향으로의 가속도는 av0x/2 라는 값이라는 것을 알 수 있고 해당 값이 차량의 가속도 크기와 동일하다는 것을 알 수 있습니다.

 

 

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4. 슬라이더-크랭크 메커니즘에서의 운동 분석 

Q3) 아래 그림과 같은 슬라이더-크랭크 메커니즘에서 슬라이더의 속도와 가속도를 각도 θ 에 대한 식으로 표현하라.

 

 

위 그림의 경우 문제를 해결할 때 제약조건에 주목해야 합니다. 기구의 회전조인트 부위와 슬라이더가 동일 축선 상에 위치한 것을 확인할 수 있습니다. 그리고 슬라이더-크랭크를 이루는 두 개의 링크의 길이가 L로 동일하다는 점도 고려해주어야 합니다. 이를 활용한다면 슬라이더가 직선 왕복운동을 하는 부분에서의 각도 역시 θ로 동일하다는 것을 알 수 있습니다.

 

해당 제약조건을 활용해 각 점의 좌표를 구해줄 수 있습니다. 회전이 일어나는 지점을 원점 O, 2개의 링크가 함께 겹쳐있는 부분을 A, 슬라이더가 움직이는 지점을 B라 가정할 경우 각 점의 좌표를 삼각함수를 이용해 다음 그림과 같이 표현할 수 있습니다.

 

 

이 결과를 활용한다면 슬라이더가 움직이는 지점 B의 위치벡터는 B = 2Lcosθ i + 2Lsinθ j 로 표현할 수 있게 되는 것이죠. 그리고 이를 활용해 슬라이더의 속도와 가속도 역시 θ라는 단위로 표현할 수 있습니다. 이 때 유의할 점은 우리가 x를 시간에 대해 미분한 것을 vx라 정의했지만 θ에 대해서는 같은 정의를 한 적이 없다는 점을 유념해야 합니다. 따라서 식은 θ_dot과 θ_double dot으로 표현됩니다. 결국 우리는 위 그림과 같은 슬라이더 크랭크 메커니즘에서 속도와 가속도를 아래와 같이 정리할 수 있습니다.

 

 

 

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이번 포스팅에서는 물체의 움직임을 벡터로 표현하고 시간에 대해 미분해 속도/가속도를 구하는 방법에 대해 알아보았습니다. 다음 포스팅에서는 동역학에서 물체의 움직임을 표현하는데 사용되는 질량-가속도 선도에 대해 다뤄보겠습니다. 긴 글 읽어주셔서 감사드립니다 :D