엔트로피의 개념과 실제 열교환 과정에서의 엔트로피

열역학 개념 정리(7) - 엔트로피의 개념 및 실제 과정에서의 엔트로피

 

 

 

 

 

1. 엔트로피의 개념

 

엔트로피의 개념은 카르노 사이클로부터 출발합니다. 카르노사이클에서의 열 효율은 다음 공식을 활용해 구할 수 있었는데요

 

 

P-V 선도를 여러 개의 미소사이클의 합으로 생각한다면 각 사이클 역시 위의 관계를 만족하게 됩니다. 결과적으로 미소사이클의 수 n을 무한대로 많게 하면 각 요소에 대한 적분 결과를 기반으로 아래와 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

 

 

전달되는 열량 δQ = dU + δW로 나타낼 수 있는데 전체 식을 T로 나누면 식 전체가 완전 미분이 되어 아래 관계를 따르게 됩니다. 그리고 식에서 S를 엔트로피라 지칭하며, 해당 결과를 통해 카르노사이클에서 발생하는 엔트로피의 변화는 0이라는 것을 알 수 있어요.

 

 

엔트로피는 주어진 상태, 즉 다시말해 온도에 의해서만 결정되는 값이기 때문에 시스템의 기준으로 작용할 수 있습니다. 또한 이전에 다뤘던 엔탈피와 같이 엔트로피의 크기는 상태량일뿐 절대적인 값을 나타내는 것은 아니라는 점 역시 함께 기억해주시면 좋을 것 같아요

 

 

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2. 실제과정에서의 엔트로피

 

우리 일상에서 존재하는 대부분의 상황은 이상적이지 않기 때문에 엔트로피가 필연적으로 발생하게 됩니다. 그래서 만약 Cycle1을 이상적인 카르노사이클, Cycle2를 현실 세계에서의 열 교환 사이클이라고 가정할 경우 Cycle1에서의 효율이 무조건 Cycle2에서의 효율보다 높을 수 밖에 없습니다. 이를 식으로 표현하면 다음과 같이 나타낼 수 있는데요

 

 

앞서 단열과정에서의 전체 열 교환 과정의 적분량이 0이라는 것을 고려할 때 실제 사이클에서 δQ/T의 값은 0보다 작을 수 밖에 없습니다. 이 식을 앞서 단열과정에서 유도된 식과 합한 거이 바로 Clausius 부등식인데요. 해당 부등식은 가역과정과 비가역과정이라는 2가지 상태에서의 사이클 적분을 나타낸 식입니다. 만약 식에서 사이클적분의 결과가 0일 경우 가역과정에 해당하는 것이고 0보다 작을 경우 비가역과정에 해당하는 것이죠

 

 

해당 식을 아래와 같은 이상적인 가역과정과 비가역과정으로 이뤄진 사이클에 적용해보는 사례를 생각해 볼 수 있습니다.

 

 

 

이 사례에 Clausius 방정식을 적용한다면, 이상적인 가역과정의 경우 dS로, 현실 세계의 비가역과정은 δQ/dT로 정리됩니다.

 

 

이 식을 조금 변형해주면 가역과정과 비가역과정 사이의 부등식인 아래와 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

 

 

여기서 S2-S1 값이 사이클 적분값과 같아지기 위해서는 사이클이 가역과정이거나, 혹은 어떤 특정값이 더해져야 됨을 인지하실 수 있는데요. 여기서 값을 맞춰주기 위해 Θ 라는 단위가 도입됩니다. 그리고 Θ는 열역학에서 생성엔트로피(Produced Entropy)라 불리며 비가역 사이클의 과정을 거치며 발생하는 엔트로피라고 이해해주시면 좋을 것 같습니다. 이를 식으로 표현하면 아래와 같이 정리됨을 확인할 수 있습니다.

 

 

실제 열기관에서 발생하는 생성엔트로피에 의한 열 효율은 어떻게 계산해야 할까요? 일단 카르노사이클에서의 기본적인 효율에 더해 생성엔트로피의 영향력 역시 함께 고려해주어야 해요. 이를 위해서는 생성엔트로피에 대한식을 조금 변형해주어야 합니다. 변형 과정은 아래와 같아요

 

 

이 결과와  효율과 열량, 일 사이의 관계를 활용해 실제 비가역 사이클에서의 효율을 구하면 아래와 같은 결론을 내릴 수 있습니다.

 

 

 

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3. 카르노 열기관에서 냉동기의 효율 (COP)

 

냉동사이클은 열기관 사이클을 역으로 작동시키는 과정을 뜻해요. 냉동사이클은 외부 열원에서 W의 일을 공급받아 저온부에서 열을 흡수하고 고온부에 열을 방출하는 형태로 동작합니다. 그렇기 때문에 냉동기의 성능계수는 COP(Coefficient of Perofrmance)로 표현되며 아래와 같은 공식으로 구할 수 있습니다.

 

 

또한 냉동사이클에서 방열부의 열을 난방에 사용하는 기관을 열펌프(Heat Pump)라고 하고, 그 성능은 아래와 같이 표현할 수 있습니다.

 

 

 

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다음 포스팅에서는 이상기체에서 엔트로피를 계산하는 방법에 대해 다뤄보려고 합니다.

긴 글 읽어주셔서 감사드립니다 :)