이상기체의 등온과정, 단열과정, 폴리트로픽 과정에서의 상태량 변화

열역학 개념 정리(5) - 이상기체의 등온/단열/폴리트로픽 과정 상태 변화

 

 

 

 

1. 이상기체의 등온과정에서 상태량 변화

 

저번 포스팅에서는 이상기체의 정적과정과 정압과정에서의 상태변화에 대해 다뤄보았는데요. 이어서 등온과정의 상변화에 대해 알아보겠습니다. 등온과정이란 용어에서 알 수 있듯이 상태 변화 과정에서 온도가 일정하게 유지되는 과정을 뜻하죠. 이상기체의 방정식인 PV = mRT 다시 말해 Pv = RT 공식을 활용해 압력과 부피 간 상관관계를 아래와 같이 유도할 수 있습니다.

 

온도와 이상기체 상수가 일정하다는 것을 통해 PV의 값이 항상 일정하다는 관계를 얻을 수 있었죠. 이를 활용해 절대일 Wa와 공업일 Wt를 구하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

 

 

이제 내부에너지와 엔탈피의 상태값을 구해볼게요. 온도의 변화가 없다는 점을 고려한다면 T2-T1 = 0이 되겠죠? 그래서 결과적으로 등온과정에서 엔탈피와 내부에너지의 변화량은 0이 됩니다. 식으로 정리하면 아래와 같아요

 

 

이를 통해 등온과정에서 전달되는 전체 열량을 정리하면 아래와 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

 

 

 

 

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2. 이상기체의 단열과정에서 상태량 변화

 

이상기체의 단열과정에서는 바로 전 포스팅에서 다뤘던 정적비열과 정압비열 사이의 관계를 나타내는 값 k를 활용합니다. 먼저 단열과정에서 열전달량 Q에 대해 고려해줄 필요가 있어요. 앞서 말했듯 열 전달량은 절대일과 내부에너지의 합으로 구성되기 때문에 CvdT + Pdv로 정의될 수 있어요. 이때 여기서 이상기체의 상태방정식 Pv = RT를 T에 대해 미분함으로써 식을 P와 v에 대해 나타낼 수 있습니다. 해당 과정을 식으로 나타내면 다음과 같습니다.

 

 

이후 유도된 dT 값을 활용해 Q = Cv DT + PdV에 대입해주어 식을 정리하면 Pv^k = C라는 결론을 얻을 수 있습니다.

 

 

 

해당 결과를 활용해 온도와 압력, 비체적 사이의 관계를 정리할 수 있고 그 결과는 아래와 같습니다.

 

 

이제 온도와 비체적, 부피 사이의 관계를 유도했으니 절대일 Wa와 공업일 Wt 사이의 관계를 유도해야 하는데요. 앞서 행했던 것과 같이 Pdv와 vdP를 활용해 이를 손쉽게 구해줄 수 있습니다. 다만, k값이 들어가 적분 과정이 복잡해져, 식의 유도가 조금 길어졌다는 차이점을 제외한다면 그 결과는 거의 유사함을 확인할 수 있습니다.

 

 

마지막으로 엔탈피와 내부에너지를 구해줄 차례에요. 이전에 진행해왔듯이 Cv(T2-T1)과 Cp(T2-T1)으로 구해줄 수 있죠. 여기에 더해 단열과정에서의 열전달량은 0이 된다는 사실 역시 함께 전해드리려 합니다. 외부로의 열의 출입이 없는 과정이 단열과정을 지칭하는 것이기 때문에, Q12=0이라는 값을 가지게 됩니다. 해당 사실을 항상 유의하시면 좋을 것 같네요

 

 

 

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3. 이상기체의 폴리트로픽 과정

 

모든 상변화과정이 이상기체와 같을 수 없기 때문에 폴리트로픽 과정이라는 개념 도입이 필요합니다. 폴리트로픽과정은 압력과 체적의 관계를 규정한 단열과정에서 한 단계 더 나아간 과정이라고 생각하시면 될 것 같아요. 단열과정에서는 정압과정과 정압비열에 대해 상수 k를 도입했지만 폴리트로픽 과정은 폴리트로픽 지수 n을 활용한다는 차이점이 있습니다. 즉 공식적으로만 생각한다면, 앞에서 단열과정에서 상수 k를 사용하던 것을 n으로 바꾸면 된다. 이렇게 이해하시면 좋을 것 같아요. 이를 활용해 폴리트로픽 과정에서 온도와 체적, 압력 사이의 상관관계를 구하면 아래와 같은 관계식을 얻을 수 있습니다.

 

 

이어서 절대일과 공업일을 구하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

 

 

 

그 다음으로 엔탈피와 내부에너지의 변화량을 구해줄 차례입니다. 해당 2가지 요소의 경우 이전에 단열과정에서 나왔던 결과물과 크게 다르지 않은 모습을 확인하실 수 있으리라 생각됩니다.

 

 

 

마지막으로 전달되는 열량의 크기를 구할 차례에요. 단열과정과 달리 폴리트로픽 과정은 외부와의 열이 완전히 차단되지 않은 상황인만큼, 열량의 값이 0이 아니게 되죠. 이를 활용해 전달 열량의 크기를 구하면 다음과 같은 식을 유도할 수 있게 됩니다.

 

 

 

 

 

이번 포스팅에서는 이상기체의 등온과정, 단열과정, 폴리트로픽 과정에서의 상태량 변화에 대한 내용을 다뤄보았는데요. 다음 포스팅에서는 열역학 제2법칙에 대한 개념을 정리해보도록 하겠습니다. 긴 글 읽어주셔서 감사드립니다. 좋은 주말 되세요~