이상기체의 정압과정, 정적과정에서 변화

열역학 개념 정리(4) - 이상기체의 정압과정/정적과정에서의 변화

 

 

 

 

 

1. 이상기체가 아닐 경우 일과 열량을 구하는 방법

 

이상기체가 아닌 정적/정압과정에서 발생하는 일에 대해 간단히 다뤄보았는데요. 밀폐시스템에서의 비유동일은 압력 값에 대해 부피를 적분해 구할 수 있고, 반대로 개방계에서의 일은 부피에 대해 압력값으로 적분함으로써 구할 수 있었는데요. 개방계에서의 일은 펌프나 터빈 등이 수행하는 일을 구할 때 활용되기도 합니다. 이를 간단히 공식으로 정리하면 아래와 같아요

 

 

또한 정적과정과 정압과정에서 전달되는 열량은 아래와 같이 정리할 수 있습니다. 부피가 일정하게 유지되는 정적과정에서 열이 전달되는 상황은 압력이 낮아져서 내부 기체의 온도가 떨어지는 상황을 가정해 볼 수 있죠. 이런 상황에서 열량은 온전히 내부 에너지를 바꾸는데 사용되었다고 판단할 수 있을 것입니다. 또한 정압과정에서는 열전달량의 크기를 엔탈피의 차를 이용해 나타낼 수 있다는 것을 확인해 보았습니다. 이를 공식으로 표현하면 다음처럼 나타낼 수 있습니다.

 

 

 

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2. 이상기체의 각 과정에 따른 상태 변화 공식

 

이제 이상기체에서 발생하는 정압과정, 정적과정, 등온과정, 단열과정과 같은 다양한 변화에서 각 상태량이 어떻게 변화하는지에 대해 알아보겠습니다. 이상기체를 다뤘던 이전 포스팅에서 이상기체는 PV=mRT의 공식을 만족한다는 것을 간략하게 다뤘는데요. 해당 공식에서 정압과정의 경우 압력이 동일하게, 정적과정의 경우 부피가 동일하게 유지되는 것을 뜻하는만큼 이에 따라 엔탈피와 내부에너지의 값을 구하는 공식이 달라지게 됩니다.

 

이를 위해서는 먼저 비열에 대해 이해할 필요가 있어요. 열역학에서 주로 사용하는 비열은 정압비열과 정적비열이 있는데요. 용어에서 알 수 있듯이 정압비열은 압력이 일정할 때 엔탈피의 온도에 대한 미분 값을 뜻하고, 정적비열은 체적이 일정할 때 내부에너지의 온도에 대한 미분값을 뜻해요. 일정함을 뜻하는 단어 Constant의 앞글자 C와 체적을 뜻하는 Volume, 압력을 뜻하는 Pressure에서 한 글자씩 따서 정압비열의 경우 Cp로, 정적비열은 Cv로 표현하고는 합니다.

 

다시 돌아가 이상기체의 엔탈피와 내부에너지 간 공식을 정리해보면 아래와 같이 정리될 수 있겠죠

 

 

 Pv = RT에 의해 공식을 변형하면 아래와 같이 식 전체를 온도에 관해 표현하면 식은 다음과 같이 변형됩니다.

 

 

앞서 살펴보았듯 엔탈피도 온도에 관한 값이고, 내부에너지 역시 온도에 관한 값이며 RT 역시 온도와 상관이 있는 값이기에 식을 온도에 대해 정리할 수 있게 됩니다. 해당 개념을 활용해 온도 T를 기준으로 전체 식을 미분하면 아래와 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

 

 

이때 dh/dT는 정압비열을 뜻하고 dh/dt는 내부에너지와 관련된 정적비열을 의미하게 되며 남은 것은 이상기체상수 R만이 존재합니다. 따라서 해당 식을 Cv와 Ct에 대해 표현한 이후 이를 Cp/Ck를 뜻하는 값 k에 대해 정리하면 아래와 같이 식을 정리할 수 있습니다.

 

 

이상기체에 대해 엔탈피와 내부에너지 사이의 관계를 통해 정압비열과 정적비열 간 관계라는 k 값을 알아냈으니, 이제 본격적으로 각 과정에서 상태량 변화를 계산해야 합니다. k 값을 알아야 하는 이유는 단순히 엔탈피와 내부에너지를 계산할 때 각각 정압비열 Cp와 정적비열 Cv가 필요하기 때문이에요. 먼저 정적과정에서 이상기체의 상태량 변화를 살펴보면 아래와 같은 공식을 도출할 수 있게 됩니다.

 

 

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3. 정적과정에서의 이상기체 상태량 변화

 

정적과정에서 체적이 일정한 상태라는 점을 고려해 압력과 온도 사이의 관계식을 구하면 아래와 같이 유도할 수 있습니다.

 

 

1상태와 2상태 사이에 관계식을 자세히 설명한 이유는 기사시험 혹은 저서 연습문제 등에서 2상태 혹은 1상태의 압력 및 온도 값을 예측하는 문제가 자주 출제되기 때문이에요. 뒤에 설명할 정압과정, 등온과정, 단열과정 모두 이를 대비하기 위해 이렇게 식을 전부 유도해 풀어나갈 예정이니 이 점 참고해주시면 좋을 것 같아요. 해당 개념을 활용해 팽창 및 압축에 의한 유동일(Wa)과 유체의 움직임에 따른 공업일(Wt)을 구하면 아래와 같이 나타낼 수 있어요 

 

 

그리고 이전 내용에서 다뤘듯이, 내부에너지는 정적비열과 온도의 변화, 엔탈피는 정압비열과 온도의 변화라는 값으로 구성된다는 점을 고려하면, 두 값을 아래와 같이 나타낼 수 있게됩니다.

 

그리고 이 과정에서 최종적으로 전달되는 열량은 아래와 같이 정리할 수 있습니다.

 

 

이어서 정압과정에서의 이상기체 상태량 변화 과정에 대해 위 과정과 유사하게 공식 유도를 해보겠습니다.

 

 

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4. 정압과정에서의 이상기체 상태량 변화

 

정압과정에서 압력이 일정한 상태라는 점을 고려해 체적과 온도 사이의 관계식을 유도하면 아래와 같습니다.

 

 

이를 활용해 공업일(Wt)와 유동일(Wa)를 구하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있어요

 

 

그 다음 처음 유도한 관계식에서 내부에너지와 엔탈피의 식을 유도하면 아래와 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

 

 

그리고 최종적으로 열 전달량을 아래와 같이 구할 수 있어요

 

 

 

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포스팅이 너무 길어질 것 같아 단열과정과 폴리트로픽 과정, 등온과정의 경우 다음 포스팅에서 이어 작성할게요

오늘도 긴 글 읽어주셔서 감사드립니다 :)