뉴턴유체의 정의와 점성계수 공식 유도

유체역학 개념 정리(2) - 뉴턴유체의 정의와 점성계수 공식

 

 

 

 

 

1. 뉴턴 유체의 정의

 

일단 시작하기 앞서 저는 이번 주에 직무 관련 면접을 보고 왔고, 관련 내용은 나오지 않았습니다. 하지만 그럼에도 불구하고 전공에 대해 remind 하는 것 자체가 저한테 굉장히 큰 의미로 다가온 만큼 합격/불합격과 관계없이 한동안은 포스팅을 지속해 쓸 것 같아요. 그러면 이제 다시 본론으로 돌아가 뉴턴 유체의 정의에 대해 알아보겠습니다. 저번 포스팅에서는 유체의 물성치와 뉴턴의 점성법칙과 이에 따른 점성계수의 기초 공식에 대해 알아보았는데요. 금일 포스팅에서는 이에 이은 뉴턴 유체의 정의에 대해 다뤄보겠습니다.

 

뉴턴 유체란 "뉴턴의 점성법칙"을 따르는 유체를 뜻합니다. 뉴턴 유체의 가장 큰 특징은 유체에서 발생하는 전단응력과 전단변형률이 선형 관계를 갖는다는 특징이 있습니다. 물론 유체의 점성계수에 따라 그 기울기 정도에는 차이가 있지만, 그럼에도 불구하고 기울기가 선형의 관계를 보이면 우리는 이를 뉴턴 유체라 부를 수 있는 것이죠. 그래서 일반적으로 점성계수가 큰 기름과 같은 유체는 큰 기울기를 갖게 되고, 점성계수가 낮은 공기는 낮은 값의 기울기 값을 갖게 됩니다.

 

한편, 뉴턴 유체 가운데서 점성 계수가 극히 낮은 값을 가지는 유체를 비점성유체라 부릅니다. 비점성유체는 점성계수가 0인 유체로 전단응력에 대한 저항력이 없는 유체를 뜻해요. 비점성유체의 특징은 점성계수로 인한 손실이 발생하지 않는, 즉 다시 말해 전단응력이 전달되지 않아 유체의 아랫면에 마찰저항이 발생하지 않는다는 특징이 있습니다. 그리고 비뉴턴유체가 비압축성이라는 성질을 함께 가지고 있다면, 이를 우리는 이상유체(Ideal Fluid)라 부릅니다.

 

뉴턴의 점성법칙을 따르지 않는 유체 역시 존재할텐데요. 우리는 이런 유체를 비뉴턴유체라 부릅니다. 비뉴턴유체는 크게 팽창유체(Dilatant Fluids)와 전단희박유체(Shear-Thinning Fluids)로 나뉜다고 해요. 팽창유체란 점성계수값이 전단응력이 증가함에 따라 같이 함께 증가하는 성향을 가지고 있습니다. 그리고 전단희박유체는 낮은 전단응력에서는 천천히 흐르지만, 높은 전단응력값을 가진다고 해요., 그리고 일부 특수한 고체-유체 물질 역시 책에서 함께 언급되고 있었는데요. 고체-유체 물질이란 낮은 전단응력에서는 고체의 형상을 유지하지만 높은 전단응력에서는 유동이 발생하는 물질을 뜻하지만, 해당 물질의 거동의 경우 "유변학(rheology) "에서 다룬다고 명시하고 있었습니다. 뉴턴유체, 전단희박유체, 팽창유체, 이상유체의 전단응력에 따른 속도구배 그래프는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

 

 

 

 

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2. 점성에 영향을 끼치는 요소들

 

점성계수라는 값이 유체의 전단력 및 저항과 관련된만큼 외부 변수와 밀접한 관련이 있을 수밖에 없습니다. 그중에서 가장 큰 영향을 끼치는 외부 요소는 바로 온도입니다. 유체는 일반적으로 온도가 증가하면 일반적으로 점성계수 값이 작아진다는 특성이 있는데요. 이는 온도가 상승함에 따라 유체 층 사이 연결력이 약해지며 미끄러지는 현상이 더욱 쉽게 발생할 수 있기 때문이라고 해요. 하지만 기체에서는 다른 현상이 발생한다고 합니다. 기체는 온도가 증가함에 따라 기체의 분자 운동이 더욱 활발해지기 때문에 충돌이 더 자주 발생하게 되고, 이에 따라 점성계수 값이 높아진다는 특성이 있다고 합니다.

 

유체의 점성에 영향을 끼치는 또 다른 요소로는 압력을 말할 수 있습니다. 유체에서 압력이 증가하면 점성계수 역시 함께 증가하는 특성이 있지만, 온도에 비해 그 영향력은 미미하기 때문에 유체역학 문제의 풀이에서 대부분 압력에 따른 변화는 무시된다고 하네요. 온도에 따라 변화하는 점성계수를 더욱 자세히 다루기 위해 많은 연구가 이뤄졌고, 대표적인 식은 바로 안드레이드(Andrade) 식과 서덜랜드(Sutherland) 식이 존재한다고 합니다. 각각은 액체와 기체의 점성계수를 측정하는데 유효한 결과를 낸다고 해요. 하지만 제 기억에 유체역학을 공부하며 안드레이드나 서덜랜드 식을 활용해 점성계수를 변화시킨 기억이 없기 때문에 이런 내용이 있다와 같이 간단하게만 내용을 언급하고 넘어가려 합니다.

 

 

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3. 점성계수의 측정 방법 

 

유체의 점성계수를 측정하는 가장 일반적인 방법은 회전식 점도계 혹은 브룩필드 점도계를 활용하는 방식입니다.

 

 

회전식 점도계는 유체의 점성을 측정하기 위해 내부 원통에 회전 토크 T를 가해 일정한 각속도 w로 회전시킵니다. 일반적으로 우리가 공학에서 토크를 구할 때 "회전힘"이라는 정의에 알맞게 회전체의 중심으로부터 떨어진 거리와 그 힘의 곱으로 이를 구했는데요. 이를 공식으로 표현하면 아래와 같이 나타낼 수 있어요

 

 

그리고 전단응력을 구하기 위해 전단력이 작용하는 단면의 크기를 고려해볼 때 이는 원통의 옆 면적과 같다는 것을 알 수 있죠. 이를 단면적 A를 활용해 나타낸다면 아래와 같은 값을 가짐을 유도할 수 있습니다.

 

 

해당 값을 F/A 라는 공식에 대입하면 유체에서의 전단면에 작용하는 전단응력을 아래와 같이 구할 수 있게 됩니다.

 

 

 

 

 

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점성계수가 전단응력과 속도구배와 상관이 있는 만큼, 속도구배(du/dy) 값 역시 함께 구해주어야 합니다. 이를 위해서는 뉴턴의 점성법칙을 정의했던 과정과 비슷하게 회전하고 있는 유체 통 내부에서 속도 분포가 어떻게 이루어질지를 생각해 보야아합니다. 뉴턴의 점성법칙을 증명했던 과정을 떠올린다면 원주 내 유체의 움직임을 아래와 같이 나타낼 수 있겠죠

 

해당 그림에서 알 수 있듯이 원통의 바깥지름에 가까워질수록, 토크에 의해 발생하는 유체의 힘은 선형적으로 증가하게 됩니다. 이는 뉴턴유체의 전단력과 전단변형률이 선형적인 관계를 이루기 때문이기도 하죠. 이를 미시적으로 바라보면 뉴턴유체를 구하는 과정에서 평판과 유체 사이 간격이 t일 때 v=Rw의 속도로 평판과 윗면의 유체가 움직이는 상황으로 바라볼 수 있을 것입니다. 이에 따라 속도구배 du/dy를 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

 

 해당 결과를 이전의 점성계수 공식에 대입하면 아래와 같이 점성계수를 구하는 공식을 유도할 수 있습니다.

 

 

 

이번 포스팅에서는 유체공학의 점성계수를 측정하는 방법과 공식유도, 뉴턴유체의 특징에 대해 알아보았습니다. 다음 포스팅에서도 유체역학 관련된 많은 내용을 잘 전달할 수 있도록 노력하겠습니다. 긴 글 읽어주셔서 감사합니다!