비압축성 유체와 압축성 유체에서의 압력 계산

유체역학 개념 정리(5) - 비압축성/압축성 유체의 압력 계산

 

 

 

 

 

 

1. 정압변화에서 작용하는 힘에 대한 고려

 

바로 전 포스팅에서 소개했듯이 유체정역학을 계산할 때  유체의 압력은 작용면에 대해 수직으로 작용한다라고 가정했는데요. 이를 가볍게 증명하고 넘어가려 합니다. 유체 안에 어떤 구조물이 압력을 받는 상황을 가정하면 아래 그림과 같은 모습을 하고 있다고 생각할 수 있어요.

 

각  축에 대한 변위를 계산하기 위해 위 그림과 같이 물체에 작용하는 힘을 표현한 자유물체도를 그릴 수 있습니다. x축과 y축 방향의 평형을 고려할 때에는 압력에 의한 힘만 고려하면 되지만, z방향의 경우 자중에 의한 힘이 추가적으로 발생하는 만큼 이를 고려해주어야 해요. 또한 힘을 구할 때 압력의 정의에 따라서 P = F/A에서 F = P X A로 힘을 구해줄 수 있습니다. 먼저 x축 혹은 y축에 대한 압력을 고려하면 아래와 같은 방정식을 구할 수 있습니다.

 

 

식을 세울 때 압력으로 인해 Force B가 작용하는 부위가 Force A 보다 압력값이 클 것이라는 가정을 두었습니다. 또한 x와 y 방향 중에서 x방향에 대해 고려하는 가정을 세웠죠. 그 결과 x축 혹은 y축 방향으로 압력은 증가하지 않는다라는 결론을 내릴 수 있었습니다. 그리고 이를 통해  물체의 자중이 작용하는 z축 방향으로의 힘은 다른 결과를 가질 것이라는 점을 예측할 수 있는데요. z 방향으로의 압력 증가를 고려한 식을 세우고 이를 정리하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

 

 

이 결과로부터 우리는 z축 방향으로 압력이 작용할 때 압력의 변화는 높이 차에 해당한다는 것을 알 수 있어요. 저는 그냥 간단하게 표현하기 위해 높이 x 값을 활용했지만 책에서는 z축 방향이기 때문에 ap/ax = γ dz와 같이 정의하고 있었습니다. 그리고 식을 세울 때 깊이가 깊어질수록 z 축의 값이 증가한다고 가정했기 때문에 유체의 압력이 아래로 향하며 점차 강해진다는 것을 유추할 수 있습니다. 해당 개념은 비압축성 유체와 압축성 유체 2가지에 모두 동일하게 적용될 수 있다고 하는데요. 이제 이를 활용해 2가지 유체 형태에 대한 압력 분포를 계산하는 방법에 대해 알아보겠습니다.

 

 

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2. 압축성 유체와 비압축성 유체의 구분

 

 

유체는 압축성 유체와 비압축성 유체의 2가지로 구분할 수 있습니다. 이 2가지 기준은 이전 포스팅에서 뉴턴의 점성법칙을 다룰 때 뉴턴유체와 비뉴턴유체로 구분했던 것과 같이 유체를 구분하는 주요 기준이기도 하죠. 압축성 유체와 비압축성 유체의 대표적인 예시로 각각 공기와 물을 말할 수 있죠.

 

압축성 유체는 유체에 압력을 가할 때 부피가 변화하거나 혹은 밀도가 변화하는 유체를 뜻합니다. 비압축성 유체는 전체의 비중량이 균일하지 않은만큼 이에 대한 고려를 통해 압력분포를 도출해야 합니다. 반대로 비압축성 유체는 반대로 압력을 가할 때 부피가 변화하지 않고 그 형태를 유지할 수 있는 유체를 의미합니다. 이제 해당 개념에 대해 파악했으니, 각각의 경우에 대해 압력 분포를 계산하는 과정을 다뤄보겠습니다.

 

 

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3. 비압축성 유체의 압력 분포

 

비압축성 유체는 전체의 비중량이 동일합니다. 1에서 유도한 dp = γ dz의 양변을 적분하면 다음 결과를 얻습니다.

 

 

해당 식에서 z0을 기본값 0이라고 가정하면 식은 아래와 같이 정리될 수 있죠

 

 

그리고 만약 P0이 대기압이라고 가정한다면, 상대적인 게이지압력 P는 다음과 같이 정리될 수 있습니다.

 

 

 

이를 통해 비압축성 유체에서는 압력은 깊이에 비례해 선형적으로 증가한다는 사실을 알 수 있습니다.

 

 

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4. 압축성 유체의 압력 분포

 

압축성 유체는 비중량이 동일하지 않기 때문에 이상기체방정식을 활용해 비중량을 구해주어야 합니다. 이상기체 방정식 PV = mRT 를 밀도를 활용해 표현하면 P = ρRT 라는 결과를 얻습니다. 일반적으로 밀도는 kg/㎥ 비중량은 N/㎥의 단위를 가지기 때문에 γ = ρg의 관계식을 따르게 되고, 이를 통해 이상기체방정식은 다시 Pg = γRT, γ = Pg/RT라는 식을 유도할 수 있습니다. 이를 활용해 적분식을 세우면 다음 결과를 얻을 수 있어요

 

 

식에서 T와 P는 각각 절대온도와 절대압력값을 사용해야 합니다. 만약 해당 식에서 온도가 같은 조건, 즉 등온조건에 해당할 경우 T가 상수가 되기 때문에 식을 압력의 변화에 대해서만 온전히 정리할 수 있게 됩니다. 그리고 적분을 마무리지으면 압축성 유체의 등온 조건에서 압력의 변화를 아래와 같이 정의할 수 있습니다.

 

 

식에서 마지막에 지수부분에 음의 부호를 붙인 이유는 이전에 공식을 유도했을 때 z축의 아래 방향을 양의 방향으로 가정했던 것을 다시 반대로 적용하기 위함입니다. 해당 식은 실제로 성층권에서 낮은 온도 영역의 압력을 계산할 때 활용된다고도 하네요

 

 

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이번 포스팅에서는 유체의 정압 변화와 압축성, 비압축성이라는 2가지 기준에 따른 압력 분포를 다뤄보았습니다. 다음 포스팅에서는 유체의 압력을 측정하는 다양한 장치에 대해 다뤄보도록 하겠습니다. 감사합니다 !!