유체의 물성치와 점성계수

유체역학 개념 정리(1) - 유체의 물성치와 점성계수

 

 

 

 

 

1. 유체의 물성치

 

유체역학을 잘 이해하기 위해 공식 유도에 필요하는 물리적 성질에 대해 알아두는 것이 좋습니다. 왜냐하면 해당 성질을 활용해 유체의 물리적 특성을 파악하는 것은 물론, 해당 값을 손쉽게 하나의 단위로 표현함으로써 그 과정을 간편하게 할 수 있기 때문이에요. 가장 먼저 다룰 성질은 바로 밀도(Density)에요. 밀도는 ρ 라는 라틴어로 표기되며 단위는 kg/㎥ 으로 표현됩니다. 단위계의 표현에서 알 수 있듯이 밀도는 단위물질의 부피 당 질량을 의미합니다. 주요 단위계로 사용하는 것은 바로 물의 표준밀도입니다. 물의 표준 밀도는 1,000 kg/㎥  으로 정의됩니다. 실제 과정에서는 4℃의 물의 밀도가 1,000 kg/㎥이고 100℃에서는 이보다 더 작은 값을 가지지만, 유체역학의 문제 풀이 과정에서 온도가 크게 변화하는 일이 없기 때문에, 대부분의 상황에서 그 값을 1,000 kg/㎥으로 가정합니다.

 

물의 밀도에 대한 기타 물질의 비율을 나타내는 척도로 우리는 비중(Specific Gravity)를 활용합니다. 비중은 무게와 무게의 비를 나타내는 값인만큼 무차원이라는 특징이 있어요. 비중은 대기압(101.3KPa)에서의 4℃ 물의 밀도에 해당하는 1,000 kg/㎥의 물을 기준으로 삼으며 γ라는 라틴어로 표현됩니다. 비중을 활용하는 이유는 2개 유체의 무게비를 쉽가 나타낼 수 있기 때문이에요. 예를 들어 기름의 밀도를 880 kg/㎥ 이라 표현할 수 있지만 이를 γ = 0.88과 같이 기재함으로써 표현의 용이함을 얻을 수 있게 되는 것이죠.

 

유체의 범위에 기체 역시 포함되는만큼 이상기체 역시 유체의 물성치의 한 갈래로 볼 수 있습니다. 하지만 해당 내용에 대해서는 이전 열역학 포스팅에서 다룬 만큼 이 글에서는 생략하고 넘어가도록 할게요. 유체가 압축에 견디는 저항력을 나타내는 체적탄성계수(Bulk Modulus) 역시 유체의 주요 물리적 성질입니다. 체적탄성계수는 주어진 압력에 대해 유체의 체적이 얼마만큼 감소하는지를 뜻하는 값이며 압력과 같은 단위계인 N/㎡ 에 속한다고 합니다.

 

 

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2. 뉴턴의 점성법칙

 

유체에서 또 다른 중요한 특성은 바로 "점성"입니다. 앞선 포스팅에서 설명했듯이, 유체는 외부에서 전단력 혹은 접선력이 작용할 때 그 형태를 일정하게 유지하지 못하고 흐른다는 특성이 있었는데요. 점성이란 유체가 외부의 힘에 대해 상대적으로 저항하는 정도를 의미합니다. 그리고 이런 값을 척도로 나타내는 것이 바로 점성계수(Viscosity)라고 해요. 그래서 점성계수가 큰 물질의 경우 접선력에 의한 전단 변형이 적기 때문에 느리게 흐르고, 물과 같이 점성계수가 작은 물질은 빠르게 흐르는 특성을 가진다고 합니다.

 

이런 유체의 점성 법칙을 처음 발견한 사람은 바로 아이작 뉴턴입니다. 뉴턴은 유체의 점성을 가정하기 위해 고정된 평면과 넓은 수평판 사이에 같힌 얇은 유체를 고려했어요. 그리고 해당 상황에서 유체의 윗 평판에 힘 F가 작용하는 상황을 가정했다고 합니다. 이를 그림으로 나타내면 아래와 같이 표현될 수 있는데요

 

 

이 상황에서 힘 F에 의해 유체 내부에 가속이 발생하고 평판이 일정한 속도로 움직이게 됩니다. 유체 내부에 가속이 발생하는 이유는 얇은 유체층 사이에서 미끄러짐이 발생하며 분자의 교환이 일어나기 때문이에요. 상대적으로 빠르게 움직이는 위쪽 유체층의 분자가 아래로 내려오며 아래층에 있는 분자와 충돌하고 유체 전체가 오른쪽으로 이동하는 움직임을 가지게 되는 것이죠. 이런 결과로 인해 유체의 힘이 가해진 상태에서 개별 유체 요소의 움직임을 보면 아래와 같은 모습을 띄게 됩니다.

 

그 결과 전체적으로 유체의 점성저항으로 인해 평판은 일정한 속도 U로 움직이게 된다고 해요. 이 상황은 유체 내 단위 요소 머적에 접선력이 가해지며 전단응력이 발생한 상황으로 계산할 수 있습니다. 그리고 t라는 미소시간 동안 유체의 변형이 이뤄져 미소 각도를 띄게 된 것을 유체의 전다변형도라고 하며 라틴어로는 α로 표현한다고 해요

 

 

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해당 상황에서 전단변형이 일어난 각도 α 는 아래와 같은 식으로 표현될 수 있습니다.

 

유체는 시간이 지름에 따라 형태가 계속 변화하기 때문에 전단변형도의 시간 변화율을 고려해야 해요. 상부가 하부에 비해 조금 더 빠르게 움직인다는 점을 고려하면 δx = △u△t로 정의될 수 있고, △α/ △t = △u/ △y로 식이 정리될 수 있습니다. 그리고 시간 t를 0으로 극한조건에 가깝게 한다면 아래와 같이 식을 정리할 수 있습니다.

 

 

여기서 우변에 있는 항 du/dy를 속도구배(Velocity Gradient)라고 하며 이는 y축에 대한 속도 u의 변화를 의마한다고 해요. 결과적으로 이를 이용해 뉴턴은 유체의 전단응력이 전단변형률 또는 속도구배에 비례함을 주장했고, 현재 우리는 이를 뉴턴의 점성법칙이라 부릅니다. 그리고 뉴턴의 점성법칙은 다음과 같은 공식을 따릅니다.

 

여기서 μ 는 유체의 운동에 대한 저항력의 척도로 이를 점성계수, 더욱 자세히 말하면 유체의 동역학적 점성계수라 부른다고 합니다. 그리고 점성계수의 단위로는 N·s/㎡ 를 사용한다고 한다는 점 역시 함께 알아두면 좋을 것 같아요

 

 

 

 

이번 포스팅에서는 유체역학에서 알아두면 좋은 유체의 물성치와 점성의 정의에 대해 알아보았습니다. 다음 포스팅에서는 이를 기반으로 한 뉴턴유체의 정의 및 점성계수의 측정 방식에 대해 알아보겠습니다. 감사합니다!