변형량과 수직응력 개념을 활용한 부정정 문제의 해결

고체역학 (8) - 변형량과 수직응력을 활용한 부정정 문제 해결

 

 

 

 

 

1. 부정정 문제란?

 

부정정이란 내부에서 작용하는 힘을 정역학 개념만을 이용해 해결할 수 있는 문제를 뜻합니다. 정역학에서 우리는 물체에 작용하는 힘을 파악하기 위해 대부분의 상황에서 자유물체도를 활용했는데요. 그렇기 때문에 부정정 문제의 경우 자유물체도를 활용해도 미지수를 해결하기 위한 방정식의 개수가 부족하기 때문에 물체의 기하학적인 형상, 변형량 혹은 고유 물성치등을 활용해 추가적인 방정식을 구성해야 할 필요가 있습니다. 이는 수학에서 변수가 n개인 방정식을 해결하기 위해서 n개의 식이 필요한 사실에서 알 수 있는 것이죠

 

고체역학에서 부정정 문제를 다룰 때 이전 포스팅에서 다뤘던 변형량의 개념을 가장 많이 활용하게 됩니다. 자유물체도 상에서 값을 알 수 없는 미지의 반력 R을 구할 때 2개 물체의 변형량이 동일하다 혹은 물체가 고정되었기 때문에 변형량이 0이다와 같은 조건을 활용해 추가적인 방정식을 세우게 됩니다. 각각의 경우 δ1 = δ2 또는 δ1 - δ2 = 0의 방정식을 세우게 되는 것이죠. 해당 2가지 경우에 대한 부정정 문제 예시를 아래에서 보다 자세히 알아보겠습니다.

 

 

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2. 부정정 문제 예시 - 변형량이 동일한 경우

 

 

 

먼저 δ1 = δ2 의 예시에 해당하는 부정정 문제의 해결 방법에 대해 소개하려 합니다. 그림에서 미지의 힘 P가 위와 같은 구조물에 작용할 때 각 부재에 작용하는 힘의 크기를 구하는 상황을 가정해볼게요. 해당 상황에서 물체의 자유물체도를 활용해볼 수 있어요. 전체 힘 P를 가운데 원형 구조물에 대해 작용하는 힘 P1과 이를 감싸고 있는 사각 구조물에 작용하는 힘 P2로 세분화하는 방법을 활용해야 합니다. 

 

 

수식으로 표현하면 위와 같은 하나의 방정식이 다음과 같이 만들어지지만 하나의 방정식이 추가로 필요합니다. 그 다음으로 우리가 활용할 수 있는 것은 바로 변형량의 개념입니다. 문제에서 양단 고정 상황이 아닌만큼 물체에는 변형이 발생하게 됩니다. 하지만 2개의 구조물은 판으로 막혀 있어 동일한 변형량을 가지게 됩니다. 가운데 있는 원형 구조물의 반지름을 R, 고유 탄성계수를 E1라 하고 둘러싸고 있는 사각 구조물의 가로 길이를 b 세로 길이를 h라 가정할게요. 그 다음으로 전체 부재의 길이를 L이라 칭하겠습니다. 그렇다면 우리는 변형량이 동일하다는 가정을 활용해 아래와 같은 추가적인 방정식을 세울 수 있게 됩니다.

 

 

이렇게 2개의 방정식이 만들어지면, P1과 P2의 값을 아래와 같이 정리해 부정정 문제를 해결할 수 있게 됩니다.

 

 

 

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3. 부정정 문제 예시 - 변형량이 발생하지 않는 경우

 

 

부재 전체가 고정되어 변형량이 발생지 않는 δ1 - δ2 = 0 이라는 방법을 활용한 부정정 문제 해결 사례에 대해 다뤄보겠습니다. 해당 문제의 경우 위 그림과 같이 부재의 일부분에 하중 힘 P가 작용하는 상황을 가정하고 해당 구간의 응력을 구하거나 혹은 반력 Rb를 구하는 유형이 대다수입니다. 먼저 부재의 윗부분을 A 밑부분을 B라고 한다면 아래와 같은 방정식을 세울 수 있습니다.

 

 

세부 반력을 구하기 위해 힘이 작용하거나 혹은 단면적이 변화하는 상황별로 구간을 나눠줄 수 있습니다. 위 그림 역시 해당 유형에 따라 관심구간을 4개로 나눈 것을 확인할 수 있죠. 계산의 편의성을 위해 A혹은 B 부분 중 하나에 한정에서 해당 부분의 고정이 풀린 자유 상태라 생각하고, 반력 힘 R에 의해 변형이 0이 되는 상황이라 가정할 수 있습니다. 그렇게 된다면 다른 부분에서의 반력은 0이 되기 때문에 보다 계산이 간편해지는 것이죠.

 

먼저 작용하는 힘 P1과 P2에 의한 변형량을 고려해보겠습니다. A에서의 반력이 0이라고 한다면 ROI 1에서는 작용하는 힘이 없는 상태가 됩니다. 그렇게 때문에 변형량 역시 0이 될 수 밖에 없죠. ROI 2에서는 힘 P1에 의한 변형이 변형이 발생할거에요. 그리고 ROI 3을 고려한다면  P1과 동일한 힘이 작용하지만 단면적이 좁아진만큼 더 큰 변형이 발생할 것임을 예측할 수 있습니다. 마지막으로 ROI4에서는 P1과 P2의 합에 의한 힘에 의한 변형이 발생하겠죠. 각 구간에서의 길이를 각각 L1, L2, L3, L4, 넓은 부분의 단면적을 A1, A2, 부재의 탄성계수를 E라 하면 전체 변형량은 아래와 같이 정리할 수 있습니다.

 

 

그 다음으로 B에서 하중과 반대로 작용하는 힘, 다시 말해 반력을 Rb라 한다면 Rb에 의한 변형은 아래와 같이 정의될 수 있죠. 이 때 이전 과정과 마찬가지로 단면적이 변하는 부분 역시 함께 고려해주어 2개의 변형량으로 구분해주어야 한다는 점을 유의해주세요

 

 

그리고 위의 2가지 식에서 아래 관계식을 이용한다면 Rb 값을 구할 수 있습니다. 이후 마지막으로 해당 관계식에서 Rb를 구한 이후 Ra + Rb = P1+P2의 관계식에 의해 미지의 반력 Ra 값을 구하면서 부정정 문제를 해결할 수 있습니다.

 

 

 

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이번 포스팅에서는 정역학 개념을 활용해 풀 수 없는 부정정 문제에 대해 변형량의 개념을 적용함으로써 이를 해결하는 방법을 다뤄보았습니다. 다음 포스팅에서는 열에 의한 변형 개념을 포함하는 열변형에 대해 간단히 다뤄보겠습니다. 긴 글 읽어주셔서 감사드립니다 :)