온도변화가 수반될 때의 열변형

고체역학 (9) - 온도변화가 수반될 때의 열변형

 

 

 

 

 

1. 온도 변화에 의한 열변형의 발생

 

 

열에 의해 온도가 변화함에 따라 부재의 길이가 늘어나고 줄어든다는 개념은 들어보셨으리라 생각되는데요. 제 기억에는 중학교였는지 고등학교였는지는 몰라도, 여름철과 겨울철에 철도의 선로가 외부 온도 변화로 인해 길이가 변화해 그 틈을 고려해야 한다라는 문구를 교과서에서 읽었던 기억이 드네요. 이처럼 주요 에너지인 열은 외부에서의 힘과 동일하게 물체의 길이에 변형을 주는 매개체로써 작동할 수 있습니다. 그렇기에 고체역학의 변형을 다루는 파트에서도 열변형에 대한 내용을 함께 언급하고 있는 모습을 찾아볼 수 있었습니다.

 

고체역학에서 열변형을 다룰 때 균일단면을 가진 균질재료라는 가정을 하는데요. 이는 재질이 균이랗지 않거나 혹은 단면이 일정하지 않을 경우 열에 의한 변형 역시 이런 외부 요소에 영향을 받아 불균일하게 일어나기 때문이죠. 이런 가정을 만족한 상태에서 매끄러운 단면에 어떤 부재가 놓여 있는 상황을 살펴보면 온도에 비례한 열변형량은 아래와 같은 공식을 따르게 됩니다.

 

 

여기서 α는 재료의 고유값인 열팽창계수를 의미하며 온도의 역수 단위를 가집니다. 또한 변형량과 변형률의 관계를 고려해보면 열에 의한 변형량인 열변형률이 아래와 같다는 것을 유도할 수 있습니다.

 

 

 

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2. 부정정 문제에서 열변형의 해결 (1)

 

 

바로 전 포스팅에서 다룬 부정정 문제를 열변형과 관련해 생각해볼 수 있어요. 예를 들어 온도가 상승하는 경우 부재의 길이가 늘어날 것이고, 온도가 떨어지는 경우 부재의 길이가 줄어들게 되겠죠. 하지만 부재의 양 끝단이 고정된 상태로 유지되어 있다면, 반력에 의해 변형량이 무시될 수 밖에 없을거에요.

 

해당 상황에서 고정부에서의 응력을 구하기 위해서는 이전에 문제를 풀었던 것과 같이 한단 끝을 자유 상태로 가정하고 압축 혹은 인장력이 작용하고 있는 것으로 해석하면 이를 해결할 수 있습니다. 예를 들어 오른쪽 고정부가 자유 상태고, 길이 변화가 없었다면 온도가 상승했을 때에는 압축력이, 온도가 떨어졌을 때에는 인장력이 작용하는 상황으로 가정할 수 있어요. 그래서 이를 바탕으로  δ1 + δ2 = 0 의 관계식을 적용하면 양단 끝에서 작용하는 힘을 파악할 수 있습니다.

 

 

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3. 부정정 문제에서 열변형의 해결(2)

 

 

부정정 문제 상황과 동일하게 각 단면의 면적이 다른 상황 역시 고려해볼 수 있을 거에요. 문제를 해결하기 위해 가장 먼저 해결해야 하는 것은 단면의 변화에 따라 구간을 나눠주는 것입니다. 열에 의한 변형은 단면적과 관련 없는 공식임에도 불구하고 이를 수행하는 이유에 대해 질문할 수 있는데요. 그 이유는 고정된 상황에서는 양단에서 반력이 발생하는데, 이를 우리가 기존에 알고 있는 수직응력의 공식 P/A나 변형량의 공식 PL/AE에 적용할 경우 단면적에 따른 변형량이 변화하기 때문이죠. 그렇기 때문에 위 그림에서도 관심 구간을 나눠준다면 이를 ROI1과 ROI2로 나눠줄 수 있습니다.

 

그 다음 양 단의 부재가 고정되어 있다는 사실을 이용해야 합니다. 부재의 양단이 고정되어 있기 때문에 전체 길이는 변화하지 않을거에요. 하지만 이는 ROI1과 ROI2로 나눈 부분에서의 변형량이 0이라는 말과 동치가 아닙니다. 그래서 실제로 각 구간에서 발생하는 열변형을 고려하면 구간에 따라 인장변형과 압축변형이 발생하고, 각각 양의 부호/음의 부호로 나뉘어 합이 0이되는 결과를 갖게 됩니다.

 

 

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이번 포스팅에서는 부재의 열변형에 대해 알아보았는데요. 다음 포스팅에서는 물체의 변형이 일어날 때 다른 축 방향으로의 변형을 뜻하는 개념인 푸아송 비에 대해 다뤄보겠습니다. 감사합니다 :D