2023. 6. 17. 01:01ㆍ기계공학 개념/고체역학 (Solid Dynamics)
고체역학 (11) - 체적탄성계수의 정의 및 푸아송 비의 제약 조건
1. 체적탄성계수 / 압축계수
압축계수라 불리기도 하는 체적탄성계수는 외부 힘이 가해졌을 때 물질이 어느 정도로 팽창하는지를 나타내는 상수값으로 압력과 같은 단위계를 갖고 있습니다. 체적탄성계수를 적용하는 상황은 일반적으로 균일한 압력이 적용하는 상황이며, 등방성과 균질한 재료라는 2가지 특성을 만족할 때 활용할 수 있습니다.
체적탄성계수를 유도하기 위해서 이전 포스팅에서와 같이 하중에 의해 x축, y축, z 축이라는 3가지 방향에 대해 응력이 발생하는 상황을 가정합니다. 앞선 유도 결과를 통해 우리는 힘이 작용하는 축 방향으로는 σ/E라는 값이, 이외의 다른 방향에 대해서는 -νσ/E의 변형률 값이 발생한다는 것을 파악했습니다. 각 축에서 발생한 변형률을 각각 εx, εy, εz라 하겠습니다. 그리고 계산 편의를 위해 각 변의 길이가 1인 단위체적을 가정해서 체적탄성계수를 구해보도록 하겠습니다.
먼저 변형이 발생한 만큼 단위체적의 부피 역시 변하게 될 것임을 알 수 있습니다. 그리고 우리는 변형률을 알고 있기 때문에 변형이 발생한 이후 나온 부피 V를 V = (1+εx)(1+εy)(1+εz) 로 구해줄 수 있습니다. 변형률 값이 너무 미세하기 때문에 우리가 값을 곱해준다 하더라도 1이라는 이전 부피값과 비교했을 때 큰 변화가 없을 거예요. 이런 미소 변화상태에서는 곱을 합으로 치환해 줄 수 있기 때문에 변형된 부피값을 1+εx+εy+εz로 바꿔줄 수 있습니다.
일반화된 결과를 얻기 위해 3축에서 응력이 작용하는 상황에서 나왔던 결과값을 각 변화량 값에 대입해 주겠습니다. 그리고 εx+εy+εz 를 e라는 변수로 치환한 이후 해당 결과값에 대해서만 식을 정리해 줄 수 있습니다. 그리고 책에서는 e를 단위 체적에서의 체적값 변화를 의미하는 재료의 팽창률이라 정의하고 있었습니다. 결과적으로 위 과정과 같이 식을 정리하면 우리는 e = (1-2ν)(σx+σy+σz)/E라는 것을 알 수 있게 됩니다.
만약 해당 상황에서 균일한 압력 P가 모든 방향으로 작용하는 것을 가정한다면 압력이라는 성분에 의해 각 응력값은 음의 부호를 가지게 될 것이며, 그 값의 크기는 모두 동일할 것입니다. 그리고 이로 인해 식은 e = 3(1-2ν) P/E라는 결과로 더욱 간단하게 정리됩니다. 해당 결과에서 식을 더욱 편리하게 표현하기 위해 3(1-2V)/E를 1/k로 정의하겠습니다. 그렇게 된다면 E/3(1-2ν) K는 k가 되고 식은 최종적으로 e = p/k로 정리됩니다. 그리고 여기서 나온 상수 k가 바로 물질의 고유 성질 중 하나인 체적탄성계수가 됩니다.
2. 체적탄성계수를 활용한 푸아송 비의 제약 조건 파악
위에서 얻은 결과를 활용해 푸아송비의 특성을 유도할 수 있습니다. e = -P/k라는 결과를 유도할 때 압력, 즉 압축력이 작용하는 상황을 가정한 만큼 e는 음의 값을 가지게 되고 k는 양수가 됩니다. 그리고 우리는 k가 E/3(1-2ν)라는 결과를 의미한다는 것 역시 알고 있죠. 즉 k가 항상 양수여야 한다는 조건을 활용해 푸아송 비 ν가 0.5 이하여야 한다는 결과를 유도할 수 있습니다.
즉 이 결과는 자연 상태에서 푸아송 비는 0.5 이상의 값을 가질 수 없다는 것을 뜻해요. 이런 특성으로 인해 자연에서 가장 높은 푸아송 비를 가진 것으로 알려진 천연고무 역시 0.5에 근사한 값을 나타내고 있습니다. 또한 푸아송 비의 값이 0과 비슷한 상황을 고려하면, 이는 한쪽 방향으로 인장/압축력을 주어도 다른 방향의 길이 변화가 거의 없는 물질임을 알 수 있는데요. 이런 특성을 가진 물체에 대해 우리는 비압축성이라 말합니다.
앞에서 식을 유도할 때 압력에 의해 길이가 감소하는 상황만을 고려했지만, 인장 상황 역시 함께 고려해 볼게요. 압력에 의해 -P의 힘을 받던 것은 P라는 인장력으로 대치되는 만큼 우리는 식을 e = P/k로 표현할 수 있습니다. 해당 결과에 따르면 인장력이 0이 아닐 경우 항상 양수인 k 값에 의해 양의 변형량이 발생하는 것을 알 수 있습니다. 그리고 이를 정리하면 자연 상태에서 인장이 발생할 경우 물체의 체적은 증가한다라는 원리 역시 함께 증명가능합니다.
3. 음의 푸아송비를 가지는 물질
자연 상태에서는 음의 푸아송 비를 가지는 물질이 존재하지 않습니다. 하지만 과학의 발달로 인해 인조적으로 푸아송 비가 - 값을 가지는 물질을 생성할 수 있게 되었는데요. 우리는 이런 물질에 대해 메타물질이라 부릅니다. 이런 특성으로 인해 메타물질은 자연물질과 다른 특성을 보이는데요. 힘이 작용하는 축을 제외한 방향에서 -νσ/E라는 변형률 값에 초점을 맞춰 이를 설명해보려 합니다.
먼저 인장 상황을 생각해 볼게요. 인장 상황에서 발생하는 응력 σ는 양의 부호를 갖습니다. 자연물질은 항상 푸아송 비가 양수이기 때문에 변형률이 음의 값을 가지게 됩니다. 하지만 음의 푸아송 비를 갖는 메타물질은 부호가 양의 방향을 가리키게 됩니다. 그리고 이는 물질을 한쪽 방향으로 힘을 주어 늘였을 경우 다른 방향의 길이 역시 함께 증가한다는 것을 뜻하게 됩니다. 그리고 이와 반대되는 상황인 압축력이 작용하는 상황을 따져보아도, 음의 부호를 갖는 응력과 푸아송 비로 인해 메타물질은 모든 방향의 길이가 함께 줄어드는 모습을 보이게 됩니다.
음의 푸아송 비를 활용한다면 기존의 물리적 제약에서 벗어나 새로운 제품을 개발할 수 있습니다. 예를 들어 금오공대 기계시스템공학과의 연구팀은 음의 푸아송 비 구조를 활용해 협소한 공간을 극복할 수 있는 로봇을 제시했습니다. 또한 음의 포아송비 물질을 섞어 콘크리트 기둥의 역학적 특성을 강화하거나 충격을 흡수하기 위한 연구와 같이 그 활용도는 매우 높다고 할 수 있습니다.
이번 포스팅에서는 체적탄성계수와 이에 기인한 푸아송 비의 제약 조건에 대해 다뤄보았습니다. 그리고 책에는 나오지 않지만 음의 푸아송 비를 가지는 메타 물질에 대해서도 간략하게 알아보았습니다. 다음 포스팅에서는 전단변형률에 대해 다뤄보도록 하겠습니다. 긴 글 읽어주셔서 감사합니다 :D
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