다축하중과 푸아송 비

고체역학 (10) - 다축하중과 푸아송 비 

 

 

 

 

 

1. 푸아송 비

 

푸아송 비(Poission's Ratio)는 물체에 변형이 일어날 때 힘이 작용하는 축 방향의 변형률과 다른 방향의 변형률을 정의한 값입니다. 푸아송 비는 물체를 이루고 있는 물질이 균일하고 방향과 상관없는 등방성이라는 특성을 만족한다는 전제조건을 가지고 있습니다. 푸아송 비를 고려하는 이유는 현실 세계에서 변형이 일어날 때 힘이 작용하는 방향 이외에 다른 방향으로도 변형이 함께 일어나기 때문이죠. 예를 들어 고무찰흙을 잡아당기는 상황을 가정해보겠습니다. 힘을 주어 찰흙의 길이가 늘어남에 따라 가로/세로 방향의 길이가 줄어들게 되는데요. 이런 상황에서 힘이 가해지는 방향이 다름에도 불구하고 다른 방향에서의 인장과 수축이 발생하는 만큼 이를 고려하기 위해 푸아송 비를 활용한다고 생각해 주시면 될 것 같습니다.

 

포아송비를 유도하는 과정은 이전에 다뤘던 훅의 법칙으로부터 시작합니다. 해당 법칙에 따르면 탄성영역은 σ = Eε의 관계식을 만족하는 구간이었습니다. 변형률으로만 표현하면 위 식을 ε = σ / E 로 나타낼 수 있습니다. 이 상황에서 힘이 z축 방향으로만 작용해 보겠습니다. z 축 방향으로 힘이 작용함에 따라 x축과 y축의 길이에 변형이 동시에 일어나게 됩니다. 예를 들어 z 축 방향으로 인장력이 작용한다면 길이가 늘어남에 따라 x축과 y축의 길이는 줄어들게 된다는 것이죠. 이때 앞에서 정의한 등방성의 성질에 의해 각 방향으로의 변형률인 εx와 εy는 같은 값을 가지게 됩니다. 그리고 우리는 해당 값을 포아송 비에서 축방향 힘이 아닌 가로 변형률로 정의할 수 있게 됩니다.

 

이제 이를 활용해 포아송 비를 구해줄 수 있습니다. 포아송 비는 - (가로 변형률 / 축방향 변형률)의 값을 가지고 있습니다. 여기서 앞에 음의 부호를 붙이는 이유는 가로 변형률과 축방향 변형률은 서로 반대 부호를 갖기 때문에 상수값을 양수로 표현하기 위함입니다. 그리고 포아송비는 라틴어로 ν라는 문자로 표현합니다. 위 관계식을 이용해 포아송비를 공식화하면 아래와 같은 관계식으로 나타낼 수 있습니다.

 

 

그리고 식을 활용해 각 방향으로의 변형률 εx, εy, εz를 σz에 대해 아래와 같이 나타낼 수 있게 됩니다.

 

 

 

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2. 다축하중 상태에서의 변형률 계산

 

우리는 앞에서 힘이 한쪽 방향으로만 작용하는 상황만을 가정해 문제를 해결했습니다. 만약 하중이 여러 방향에서 작용하는 다축하중 상태에서는 물체애 대한 해석을 어떻게 진행할 수 있을까요? 우리는 문제 해결을 위해 각 힘을 별도로 가정하고, 이를 나중에 합하는 겹침의 원리를 활용합니다. 이를 활용하게 되면 구조물에 작용하고 있는 복합하중의 경우 각 하중의 경우를 따로 구한 이후 이를 합산해 구할 수 있게 되는 것이죠. 겹침의 원리를 가정하기 위해서는 2가지 조건이 필요합니다. 첫 번째 조건은 하중과 변형 효과가 선형 관계를 가져야 한다는 것인데 이는 훅의 법칙을 통해 증명할 수 있게 됩니다. 그리고 두 번째로는 한 방향으로의 하중의 크기가 다른 면의 응력 계산에 영향을 줄 만큼 큰 변형을 발생시키면 안 된다는 것이죠.

 

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이제 다축하중 상태에서의 문제를 해결하기 위해 위 그림과 같은 상황을 가정해보겠습니다. 세 방향으로 힘이 작용하고 있으며 이로 인해 응력이 발생하는 것을 확인할 수 있습니다. 앞에서 배운 포아송비를 활용해 각 방향 힘에 의해 영향을 받는 x축, y축, z축의 변형률을 표현하면 아래와 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

 

 

이후 중첩의 원리를 활용해 각 방향의 변형률 합을 구하면 각 방향 변형률은 다음과 같이 표현됩니다.

 

 

그리고 위 결과를 균질 등방성 재료에 적용된 다축하중 상태에서의 일반화된 훅의 법칙이라 정의합니다. 하지만 이 결과는 단일 방향으로 힘이 작용하는 상황과 동일하게 변형률과 힘이 선형의 관계를 갖는 탄성영역에서만 적용 가능하다는 것을 항상 유념하셔야 합니다.

 

 

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이번 포스팅에서는 포아송비와 다축하중 상태에 대한 개념을 소개했습니다. 다음 포스팅에서는 체적탄성계수와 포아송비의 제한에 대해 다뤄볼 예정입니다. 글을 끝까지 읽어주셔서 감사드립니다 :D