변형률의 정의와 Hooks Law, 부재의 변형량 계산 방법

고체역학 개념 (5) - 변형률의 정의와 훅의 법칙, 부재의 변형량 계산

 

 

 

 

 

1. 변형률이란?

 

바로 전 포스팅에서 다룬 내용이 바로 응력-변형률 선도인데요. 여기서 변형률이라는 단어를 자세히 설명하지 않았기 때문에 이에 대한 내용을 보충하고 가려 합니다. 변형률이란 단위 길이 당 부재의 변형량을 뜻합니다. 변형률이라는 개념을 사용하는 이유는 길이에 대해 증가한 정도를 더욱 간편하게 표현하기 위함이에요.

 

예를 들어 L이라는 부재에 대해 δ만큼 증가한 상황과 4L 이라는 부재에 대해 4δ만큼 길이가 증가한 상황과 같이 여러 케이스가 다르게 여겨질 수 있지만, 결국 동일 길이 대비 변화량이 동일한만큼 이를 편리하게 나타내고자 하는 것이죠. 비슷한 경우로 응력이 동일하고 단면적이 다른 상황에서 같은 길이가 늘어나는 것도 동일하다고 할 수 있죠. 즉 우리는 변형량이라는 것을 늘어난 길이/힘을 받기 전 전체 길이로 구하며 이를 식으로 나타내면 아래와 같은 결과를 갖게 됩니다.

 

 

 

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2. 훅의 법칙(Hooks Law)

 

바로 전 포스팅에서 응력-변형률 선도를 다뤘고, 탄성영역은 Hooks의 법칙이 적용되는 구간이라고 이를 지칭했습니다. 그리고 해당 영역은 직선의 기울기를 가지며 Hooks의 법칙에 대해 변형률과 응력이 선형의 관계를 이루는 구간 ( σ = Eε )이라 지칭했죠. 이번 포스팅에서는 핵심이 되는 훅의 법칙(Hooks Law)에 대해 조금 더 깊게 다뤄보겠습니다.

 

훅의 법칙은 영국의 수학자 로버트 훅의 이름을 따서 지어진 법칙입니다. 위에서 훅의 법칙을 다룬 식을 보면 이전에 다루지 않은 변수 E가 등장하는데요. E는 영 계수라고도 불리며 재료의 고유 탄성계수를 뜻합니다. 변형률이라는 단위가 길이/길이라는 값을 가지는 무차원수인만큼 탄성계수는 응력과 동일한 단위계인 압력 단위계에 속하게 되는 것이죠. 그리고 훅의 법칙을 최대로 적용할 수 있는 지점을 물질의 비례한도라고 한다는 개념 역시 함께 알아두면 좋을 것 같습니다.

 

훅의 법칙에서 중요한 개념 중 하나는 바로 "등방성"이에요. 등방성이란 수직응력과 수직변형률 사이 관계는 하중의 방향에 무관하다는 것을 뜻합니다. 하지만 방향에 따라 성질이 영향을 받는 "이방성"의 물질 또한 존재합니다. 이방성의 물질은 유리, 폴리머와 같은 섬유 재질 이 대표적이며 섬유가 위치한 방향에 따라 적용하는 하중에 대한 저향력이 달라지게 된다고 합니다. 

 

 

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3. 부재의 변형량 공식 유도

 

이제 앞에서 다룬 변형량의 내용과 훅의 법칙을 활용해 부재의 변형량을 유도해보려 합니다. 훅의 법칙은 σ = Eε의 공식을 따르는데요. 식을 변형량에 대해 나타내면 아래와 같이 표현할 수 있습니다.

 

그리고 앞에서 변형률을 표현하던 공식 ε = δ / L 을 위 식의 ε에 대입해주면 식은 아래와 같이 변형될 수 있어요

 

식에서 양 변에 L을 곱해주고 앞에서 수직응력을 P/A로 구했다는 사실을 이용하면 물체의 변형량은 다음처럼 정의됩니다.

 

 

위 식은 봉이 균질이며 같은 단면적을 가지고 하중이 양 끝에 적용될 때에 활용될 수 있는 식입니다. 만약 특정 부재가 다양한 단면을 가지고 여러 재질로 구성되어 있다면, 해당 공식을 활용해 이를 개별 구간으로 나누어주어서 계산해주어야 된다고 합니다. 그래서 봉 전체의 변형은 해당 지점에서의 변형값을 전부 합한 값으로 결정지을 수 있게 됩니다.

 

 

 

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이번 포스팅에서는 훅의 법칙과 변형량을 정의하고 위의 2가지 개념을 활용해 외부에서 인장/압축이 발생했을 때 변형량을 알 수 있는 공식을 유도해보았습니다. 다음 포스팅에서는 재료의 탄성에 대해 조금 더 깊게 다루고, 피로에 의한 반복하중과 Creep에 대해 다뤄보도록 하겠습니다. 긴 글 읽어주셔서 감사드립니다 :)